Bilangan Bulat (Operasi BilBUL)

1. Arti dari Bilangan Bulat
   Bilangan yang dapat dinyatakan dalam notasi desimal dengan tidak terdapat bilangan dibelakang koma selain nol. Bilangan Bulat dilambangkan dengan simbol Z.
   Contoh Notasi: {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
   

   Negatif	Bilangan Cacah
   	Nol	Positif / Asli
   dengan notasi:
   {...,-4,-3,-2,-1}	{0}	{1,2,3,4,...}
   Nilai Negatif	Nol	Nilai Positif

   
   Bilangan Bulat dibagi menjadi:
   

   1. Bilangan Cacah,
      Mulai dari Nol = {0,1,2,3,4,...}
   2. Bilangan Asli,
      Mulai dari 1 = {1,2,3,4,...}
      Bilangan Asli dibagi menjadi:
   1. Bilangan ganjil
      Bilangan yang tidak habis dibagi 2.
      Contoh: {1,3,5,7,...}
   2. Bilangan genap
      Bilangan yang habis dibagi 2.
      Contoh: {2,4,6,8,...}
   3. Bilangan prima
      Bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, yakni 1 dan bilangan itu sendiri.
      Contoh: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...}
      Contoh pada bilangan 13 yang hanya bisa dihasilkan dari 13 dikalikan 1.
   4. Bilangan Komposit
      Bilangan yang selain 0,1, & bilangan prima.
      Contoh: {4,6,8,9,10,12,14,15,...}
2. Perbandingan Bilangan Bulat
   
   Tanda:
   > (lebih besar). Contoh: 3 > 1, karena 3 terletak lebih kanan dari 1
   < (lebih kecil). Contoh: -2 < 2, karena -2 terletak lebih kiri dari 2
3. Operasi dan Sifat-sifatnya
   1. Penjumlahan
      Contoh: 3 + (-4) , dimana dapat digambarkan seperti
      Penjelasan:
      3 dari nol ke kanan karena positif 3, kemudian di ikuti dengan -4 yang artinya ke kiri sebanyak 4.
      Maka: 3 + (-4) = -1
      
      Sifat-sifatnya:
      

      a.	Komutatif
      	a+b=b+a
      	Contoh:
      	4 + 5 = 5 + 4 9 = 9
      b.	Asosiatif
      	a+(b+c)=(a+b)+c
      	Contoh:
      	2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 2 + 7 = 5 + 4 9 = 9
      c.	Tertutup
      	Bil. Bulat+Bil. Bulat=Bil.Bulat
      	Contoh:
      	3 + 2 = 5
      d.	Identitas
      	a+0=a
      	Contoh:
      	3 + 0 = 3

   2. Pengurangan
      a - b = a + (-b)
      Contoh: 4 - 2 = 4 + (-2), dimana dapat digambarkan seperti
      Penjelasan:
      4 dari nol ke kanan karena positif 4, kemudian di ikuti dengan -2 yang artinya ke kiri sebanyak 2.
      Maka: 4 + (-2) = 2
      
      Sifat-sifatnya:
      

      a.	Invers / lawan dari penjumlahan
      	lawan dari 2 adalah -2, karena 2 + (-2) = 0
      	Jika	5 - 3	=	2
      	Maka	5	=	2 + 3
      	Sebab -3 dipindahkan keseberang akan menjadi +3
      b.	Tertutup
      	Bil. Bulat - Bil. Bulat = Bil. Bulat
      	Contoh:	3 - 4	=	-1
      c.	Bukan Komutatif
      	Pengurangan tidak bersifat komutatif
      	Contoh:	2 - 3	=	3 - 2
      	Karena:	-1	≠	1
      d.	Bukan Asosiatif
      	Pengurangan tidak bersifat asosiatif
      	Contoh:	5 - (3 - 2)	=	(5 - 3) - 2
      		5 - 1	=	2 - 2
      	Karena:	4	≠	0

   3. Perkalian

      +	×	+	=	+
      +	×	-	=	-
      -	×	+	=	-
      -	×	-	=	+

      3	×	2	=	6
      3	×	-2	=	-6
      -3	×	2	=	-6
      -3	×	-2	=	6

      Kesimpulan:
      Perkalian tanda yang sama menghasilkan + (Positif)
      Perkalian tanda yang berbeda menghasilkan - (Negatif)
      Sifat-sifatnya:

      a.	Komutatif
      		a × b	=	b × a
      	Contoh:	2 × 3	=	3 × 2
      		6	=	6
      b.	Asosiatif
      		a × (b × c)	=	(a × b) × c
      	Contoh:	4 × (5 × 6)	=	(4 × 5) × 6
      		4 × 30	=	20 × 6
      		120	=	120
      c.	Tertutup
      	Bil. Bulat × Bil. Bulat = Bil. Bulat
      	Contoh:	2 × 6	=	12
      d.	Identitas
      		a × 1	=	a
      	Contoh:	4 × 1	=	4
      e.	Perkalian dengan nol = 0
      	Contoh:	5 × 0	=	0
      f.	Distributif
      	• Terhadap Penjumlahan:
      	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) a dikalikan masuk ke dalam kurung b + c 2 × (4 + 3) = (2 × 4) + (2 × 3) 2 × 7 = 8 + 6 14 = 14
      	• Terhadap Pengurangan:
      	a × (b - c) = (a × b) - (a × c) a dikalikan masuk ke dalam kurung b - c 3 × (5 - 2) = (3 × 5) - (3 × 2) 3 × 3 = 15 - 6 9 = 9

   4. Pembagian

      +	:	+	=	+
      +	:	-	=	-
      -	:	+	=	-
      -	:	-	=	+

      6	:	2	=	3
      6	:	-2	=	-3
      -6	:	2	=	-3
      -6	:	-2	=	3

      Kesimpulan:
      Pembagian tanda yang sama menghasilkan + (Positif)
      Pembagian tanda yang berbeda menghasilkan - (Negatif)
      Sifat-sifatnya:

      a.	Invers / Lawan Dari Perkalian
      		a : b	=	c
      		a × 1 b	=	c
      		a b	=	c
      		a	=	b × c
      b.	Identitas
      		a : 1	=	a
      	Contoh:	4 : 1	=	4
      c.	Pembagian dengan nol
      		0 : a	=	0
      		a : 0	=	∞
      	Bilangan dibagi nol = tak terdefinisikan
      d.	Bukan Komutatif
      		6 : 3	=	3 : 6
      	Karena	2	≠	1 2
      e.	Bukan Asosiatif
      		12 : (4 : 2)	=	(12 : 4) : 2
      		12 : 2	=	3 : 2
      	Karena	6	≠	3 2
      f.	Bukan Distributif
      		12 : (4 + 3)	=	12 : 4 + 12 : 3
      		12 : 7	=	3 + 4
      	Karena	12 7	≠	7
      g.	Bukan Tertutup
      	Karena Bil. Bulat : Bil. Bulat bisa menghasilkan Bil. Pecahan
      	Contoh:	2 : 4	=	1 2

   5. Pemangkatan
      Perkalian berulang pada bilangan yang sama
      aⁿ = a × a × a × .... sebanyak n kali
      

      dimana:	a	=	bilangan dasar
      	n	=	bilangan pangkat (eksponen)
      	an	=	bilangan berpangkat
      Contoh:	a3	=	a × a × a
      	23	=	2 × 2 × 2 = 8

      Prinsip Pemangkatan:
      

      1. a^m×aⁿ=a^m+n
      2. a^m:aⁿ=a^m−n
      3. (a^m)ⁿ=a^m×n
      4. (a×b)^m=a^m×b^m
      5. a⁰=1 ; a≠0
      6. a^-m=
         1

         a^m
      7. (-a)^m
         
         • Jika m ganjil, (-a)^m = -a^m
         • Jika m genap, (-a)^m = a^m

      Contoh:
      

      1. 2³×2⁵=2³⁺⁵=2⁸
      2. 3⁴:3³=3⁴⁻³=3¹=3
      3. (2³)⁴=2^3×4=2¹²
      4. 6²=(3×2)²=3²×2²
      5. 100⁰=1 (Bil. apapun pangkat 0=1)
      6. 2^-1=
         1

         2
      7. (-a)^m
         
         • m ganjil,
           (−2)³=(−2)×(−2)×(−2)=−8
         • m genap,
           (−2)⁴=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16

      1. Kuadrat (Pangkat dua a²) dan Akar Pangkat dua 

         		a

         
         
         Hubungan Pangkat dan Akar:
         

         1. a×a=a² (bil. Kuadrat)
         2. p²=q ⇒ p=

            		q

         3. 		a×b

            =

            		a

            ×

            		b

         4. 		a b

            =

            		a

            		b

         5. 		a

            ×

            		a

            =a
         Contoh:
         

         1. 6×6=6² (enam kuadrat)
         2. p²=25
            p=

            		25

             (25 akar pangkat dua)
            p=5

         3. 64	=	4×16
            	=	4 × 16
            	=	2×4
            	=	8

         4. 		36 4

            =

            		36

            		4

            =
            6

            2
            =3

         5. 		3

            ×

            		3

            =3
      2. Pangkat Tiga (a³) dan Akar Pangkat Tiga (

         3		a

         )
         

         a×a×a	=	b
         a3	=	b
         a	=	3 b
         Contoh:
         23	=	8
         2	=	3 8
         2	=	2

Categories: BILANGAN BULAT, Materi MTK 7